一个困扰了数学界四十余年的难题——Mizohata-Takeuchi conjecture（Mizohata-Takeuchi 猜想），最近被一位名叫 Hannah Cairo 的仙女以一种出东谈主预见的样式贬责了。她的要害并非给出径直解释，而是构造出了一个玄机的反例，从而标明这个经久以来被觉得可能建立的猜想，骨子上是诞妄的。这项责任源于她在高中时辰旁听好意思国加州大学伯克利分校数学课程时的一份家庭功课。

图丨Hannah Cairo（起首：Hannah Cairo）

其时，看成又名对数学充满暖和的高中生，Cairo 插足了由加州大学伯克利分校数学系助理西宾张瑞祥（Ruixiang Zhang）主讲的课程。张瑞祥在课程中打发了一齐特别的功课，其中包含了Mizohata-Takeuchi 猜想的一个简化版块看成主要题目，而原始猜想则看成附加挑战题出现。恰是这个附加题诱惑了 Cairo 的戒备。

图丨张瑞祥（起首：府上图）

领先，Cairo 的想路和很多前辈数学家同样，试图去解释这个猜想。经过数月的勤苦，她发现这条路特地笨重，但在这个经过中，她察觉到解释经过中的重重挫折，好像正揭示了猜想自己的某种内在弱点。她回忆说：“在几个月的解释尝试后，我逐渐不竭了它为什么如斯费事。我意志到，淌若我能正确地利用这些费事，好像我能评论这个论断。”

这让她的接头想路发生了首要升沉，从试图解释一个论断，转向了寻找推翻它的凭据。Cairo 运转入辖下手构建一个反例，即一个不合适猜想普适性论断的特别数学构造。这个经过需要利用多种数学器具，包括分形（fractals）的理念，并进行极其精良的安排。她的接头后果以论文《Mizohata-Takeuchi 猜想的一个反例》（A Counterexample to the Mizohata-Takeuchi Conjecture）的体式，于 2025 年 2 月发表在预印本网站 arXiv 上。

图丨关系论文（起首：arXiv）

要不竭这项责任的兴趣，需要先了解其所属的数学界限。长入分析（Harmonic Analysis）是当代数学的一个进击分支，其中枢想想是将复杂的函数或信号理会为一系列简便的基础波（如正弦波和余弦波）的重迭。这种想想最早不错追猜想 19 世纪初法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）对热传导方程的接头，他建议不错用无限级数的体式来暗示复杂函数，这便是闻明的傅里叶级数（Fourier series）。

在此基础上，傅里叶猖狂表面（Fourier Restriction Theory）进一步磋议了一个问题：淌若咱们只使用特定有筹商的频率（或波）来构建一个函数，那么这个函数最终会呈现出如何的样式和性质？“在长入分析表面中，一切王人由波组成。淌若你使用正确数目的波，你不错用它们构建任何东西。”Cairo 这么解释这一表面的中枢想想。

图丨Hannah Cairo 在 Youtube 上对其接头进行西宾（起首：Youtube）

Mizohata-Takeuchi 猜想的历史不错追猜想上世纪七八十年代，与偏微分方程（PDE，Partial Differential Equations）的接头紧密关系。其时，日本数学家 Sigeru Mizohata 与 Jiro Takeuchi 在接头量子力学中的基本方程薛定谔方程的解的适定性时，遭逢了一个工夫性难题。他们需要开垦一种要害来保证方程解的知晓性，这个工夫条目其后被体式化，并逐渐演形成了学界所称的 Mizohata-Takeuchi 猜想。

这个猜想具体触及一个名为延拓算子（Extension Operator）的数学对象。简便来说，这个算子（记为 E）不错将一个界说在特定逶迤超曲面（curved hypersurface）Σ（举例球面或其他光滑曲面）上的函数 f，通过傅里叶变换的技巧，“延拓”成一个界说在通盘这个词高维空间中的函数 Ef。这个经过不错看作是用曲面上的频率信息来“合成”一个空间中的波函数。

Mizohata-Takeuchi 猜想试图为这个合成出的函数 Ef 的“能量散布”给出一个归拢的界定。它预计，Ef 的加权能量（weighted energy）——通过一个权重函数 w(x)来臆测——应该受限于两个身分：一是原始函数f在曲面上的 L² 能量，二是权重函数 w 的 X 射线变换（X-Ray Transform）的最大值。X 射线变换不错粗拙地不竭为谋划 w 沿着空间中通盘直线积分所能获得的最大值，这个值在数学上被称为一种挂谷型范数（Kakeya-type norm）。

用数学公式抒发九游体育app(中国)官方网站，该猜想的中枢是一个不等式：∫|Ef(x)|²w(x)dx ≤ C·